テンソル
前回3次元配列について書いたが、一般にn次元配列というのが考えられる。
そして、こういう多次元配列のことをテンソルといい、次元数を階数(order)という。つまり、
- スカラー：０階テンソル
- ベクトル：１階テンソル
- 行列 ：２階テンソル
- ｎ次元配列：ｎ階テンソル
という風になり、階数の違いだけとなる。要するに、一般化である。
そして、これらのテンソル間でいろいろな演算ができる。
テンソルはいろいろな分野で使われている。TensorFlowのテンソルがそうであり、数理物理学の分野では頻繁にお目にかかるものであるが、ここでは深入りはしない。
実験の続き
さて、numpyの実験に戻ろう。
np.dot()で、多次元の配列(テンソル)の積が求まったが、np.tensordot()が用意されているので、これで同じ計算ができないか試してみよう。
>>> np.dot(M64,M342)
array([[[ 50, 60],
[ 130, 140],
[ 210, 220]],
[[ 114, 140],
[ 322, 348],
[ 530, 556]],
[[ 178, 220],
[ 514, 556],
[ 850, 892]],
[[ 242, 300],
[ 706, 764],
[1170, 1228]],
[[ 306, 380],
[ 898, 972],
[1490, 1564]],
[[ 370, 460],
[1090, 1180],
[1810, 1900]]])
>>> np.tensordot(M64,M342,axes=((1),(1)))
array([[[ 50, 60],
[ 130, 140],
[ 210, 220]],
[[ 114, 140],
[ 322, 348],
[ 530, 556]],
[[ 178, 220],
[ 514, 556],
[ 850, 892]],
[[ 242, 300],
[ 706, 764],
[1170, 1228]],
[[ 306, 380],
[ 898, 972],
[1490, 1564]],
[[ 370, 460],
[1090, 1180],
[1810, 1900]]])np.dot()と同じ結果がnp.tensordot()でも得られた。
np.tensordot()には、２つのテンソルの指定に続いて積和を計算する軸を指定するようになっている。
軸とは、ｎ階テンソルの何階目を積和の計算に使うかの指定のことである。
上の例では、M64(6×4のテンソル)とM345（3×4×5のテンソル）の積和を取るため、どちらも同じサイズの４の軸を指定するため、axis=((1),(1))と指定した。
３階テンソル同士のnp.tensordot()をやってみよう。
>>> N432 = np.array(range(0,24)).reshape(4,3,2); N432
array([[[ 0, 1],
[ 2, 3],
[ 4, 5]],
[[ 6, 7],
[ 8, 9],
[10, 11]],
[[12, 13],
[14, 15],
[16, 17]],
[[18, 19],
[20, 21],
[22, 23]]])
>> np.tensordot(M342,N432,axes=((0),(1)))
array([[[[ 86, 113],
[ 248, 275],
[ 410, 437],
[ 572, 599]],
[[ 92, 122],
[ 272, 302],
[ 452, 482],
[ 632, 662]]],
[[[ 98, 131],
[ 296, 329],
[ 494, 527],
[ 692, 725]],
[[ 104, 140],
[ 320, 356],
[ 536, 572],
[ 752, 788]]],
[[[ 110, 149],
[ 344, 383],
[ 578, 617],
[ 812, 851]],
[[ 116, 158],
[ 368, 410],
[ 620, 662],
[ 872, 914]]],
[[[ 122, 167],
[ 392, 437],
[ 662, 707],
[ 932, 977]],
[[ 128, 176],
[ 416, 464],
[ 704, 752],
[ 992, 1040]]]])
>>> np.shape(np.tensordot(M342,N432,axes=((0),(1))))
(4, 2, 4, 2)上の例では、M342(3×4×2のテンソル)とN432（4×3×2のテンソル）の積和を取るため、どちらも同じサイズの3の軸を指定するため、axis=((0),(1))と指定した。
結果は、サイズが(4, 2, 4, 2)の４階テンソルになった。
np.tensordot()では、積和は何度も行える。それぞれのテンソルの軸のサイズが同じ同士なら計算可能である。
２つの３階テンソル(M342,N432)に対して、２つ軸を指定してnp.tensordot()を行ってみた。
サイズ４とサイズ３の軸を指定したので、２つのテンソルの残りの軸のサイズはいずれも２なので、結果は2×2のテンソル（行列）になった。
>>> np.tensordot(M342,N432,axes=((0,1),(1,0)))
array([[1892, 2036],
[2024, 2180]])
>>> np.tensordot(M342,M432,axes=((1,0),(0,1)))
array([[2036, 2180],
[2180, 2336]])上記は、軸の順序を入れ替えて行っている。結果は、異なっている。
軸の指定順序を変更したら、結果は一致しなくなる。
ちょっと深堀りし過ぎてテンソルの話を書いたが、通常のプログラミングで使うことは稀だと思うので、この辺で終わりにする。
（完）
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