データ解析のための統計モデリング入門 一般化線形混合モデル(GLMM) 読書メモ1

このブログ記事は『データ解析のための統計モデリング入門』（久保拓弥　著、岩波書店）という、とても分かりやすい統計モデリングの入門書を、さらに分かりやすくするために読書メモをまとめたものです。 今回は第７章、一般化線形混合モデル(GLMM)についてのまとめの一回目です。 この章では複数の分布を混ぜて使う、一般化線形混合モデルついて説明がされています。 まずはロジスティック回帰にパラメータを追加したモデルについて説明されています。 なので、いろいろなパラメータについてそのモデルをプロットしてくれるコードを用意しました。 コードはRで書きました。

N <- 20

linkFunction <- function(b1, b2) {
function(x, r) {
1 / (1 + exp(-b1 - b2 * x - r))
}
}

distribution <- function(x, r, linkFunction) {
l <- match.fun(linkFunction)
function(y) {
dbinom(y, N, l(x, r))
}
}

rs <- -2:2
ys <- 0:N
pchs <- 1:5
xl <- "y"
yl <- "Probability"
legends <- paste0("r = ", rs)
for (b1 in c(-0.5, 0.5, by = 0.2)) {
for (b2 in c(-0.5, 0.5, by = 0.2)) {
l <- linkFunction(b1, b2)
title <- paste0("logit(q) = ", b1, " + ",b2," * 2"," + r")
plot(0, 0, type = "n", xlim = c(0, N), ylim = c(0.0, 1.0), main = title, xlab = xl, ylab = yl)
for (i in 1:5) {
d <- distribution(2, rs[i], l)
lines(ys, d(ys), type = "l")
points(ys, d(ys), pch = pchs[i])
}
legend("topright", legend = legends, pch = pchs)
}
}

このモデルでは、二項分布のパラメータである事象の発生確率 `q` が以下のコードで与えられます。

linkFunction <- function(b1, b2) {
function(x, r) {
1 / (1 + exp(-b1 - b2 * x - r))
}
}

GLMのモデルと比べると、新しい変数として `r` が追加されています。 この `r` が説明変数 `x` とは違った、何とは特定されていない、余分な事象の発生確率への影響を表します。 コードを実行すると様々な `b1` と `b2` と `r` の値に対してモデルをプロットします。 `x` は `2` で固定にしました。 事象の試行回数は `N = 20` で、事象の発生回数は `y` です。 例えば下図のような図がプロットされます。 図を見ると、確かに `r` の増減に従って `y` の分布が影響を受けるのが分かります。