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SymPyで高性能な円周率の公式を使ったら計算が止まらない


2016年 11月 15日

円周率を延々と求めることが延々と行われてきた。そして、効率的に計算するための公式が次々と考案されてきた。桁数を上げようとすると、急激に計算量が増えてしまうのだった。
そのあたりを説明するときりがないので、詳しくは円周率(Wikipedia)を見よ。

しかし、どうやら最近は非常に効率のよい公式が見つかっているようだ。たとえば、これだ。

fb_pi.pngこの収束は、2の10n乗分の1のペースのようだ。つまり、桁数nが増えても桁数に比例する程度の時間でしか計算量が増えないように思われる、なかなか画期的な公式だ。
この公式の導き方を知りたい場合は、次を読もう。
A new formula to compute the n’th binary digit of pi, Fabrice Bellard, January 20, 1997

この公式を利用して、円周率を求めるPythonの関数を作ってみた。

def FabriceBellard(len):
var('a:z')
term = (-1)**n/2**(10*n+6) * (-2**5/(4*n+1) - 1/(4*n+3) + 2**8/(10*n+1)
- 2**6/(10*n+3) - 2**2/(10*n+5) - 2**2/(10*n+7) + 1/(10*n+9))
sigma = 0
m = 0
while True:
t = term.evalf(len,subs={n:m})
if abs(t)<10**(-len):
break
sigma += t
m += 1
return sigma

桁数をパラメータlen で指定する。
項の加算を打ち切る限界は、桁数から決めた。

まず、とりあえず小数点以下50桁(全体で51桁)を求めてみた。
In [11]: FabriceBellard(51)
Out[11]: 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511

In [12]: sympy.pi.evalf(51)
Out[12]: 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511

大丈夫なようだ。もっと桁数を増やしてみよう。
In [19]: str(FabriceBellard(301))[-50:]
Out[19]: '45648566923460348610454326648213393607260249141274'

In [20]: str(sympy.pi.evalf(301))[-50:]
Out[20]: '45648566923460348610454326648213393607260249141274'
300桁も問題なく動いているようだ。 さらに続けて、400桁も確かめてみよう。
In [22]: str(FabriceBellard(401))[-50:]
^C---------------------------------------------------------------------------
KeyboardInterrupt                         Traceback (most recent call last)
しかし、400桁まで計算してみようとしたら、いつまで経っても、うんともすんとも言わないのでCtrl-Cで強制終了した。
何が悪いんだろう。